Question

在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,PAQ=60°P是射线BC边上的一个动点，交射线CD于Q，设P和B距离为x，PQ为y

在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,PAQ=60°P是射线BC边上的一个动点，交射线CD于Q，设P和B距离为x，PQ为y
求证：△APQ为等边三角形
y关于x的函数解析式，写出定义域
如果PD⊥AQ，求BP的值

Answer 1

证明：（1）过A作AH垂直于BC于H

过A作AE垂直于DC于E

易得三角形AHB全等于三角形AED

所以AH=AE

因为∠ADE=∠DAQ+∠AQD=∠PAD+∠QAD=60°

所以∠DAP=∠AQD

因为∠DAP=∠APH

所以∠APH=∠AQD

易得三角形AEQ全等于三角形AHP

所以AP=AQ

所以△APQ为等边三角形

（2）∠ABH=60°  AB=4

BH=2   AH=2*根号3

HP=x-2

在RT三角形AHP中

勾股定理

得函数解析式为y=根号（x^2-4x+16） 

（3）有两种情况

1.当P在BC延长线上时

根据等腰三角形性质

易得PD平分∠ADQ

因为AD平行BC

所以∠ADQ=∠BCQ=120°

易得∠DPC=120°/2=60°

因为∠DPA=30°

所以∠APC=30°

因为∠B=60°

所以∠BAP=90°

所以BP=2BA=8 

2.当P在BC上时

易得PQ为菱形ABCD一条对角线

所以B,P重合

BP=0

Answer 2

连接AC
因为在菱形中，角B=60，所以三角形ABC和ACD都是等边三角形
角BAC=角PAC+角BAP=60
角PAQ=角PAC+角CAD=60
所以角BAP=角CAD 且AB=AC 角B=角ACQ
所以三角形ABP与三角形ACQ全等
所以AP=AQ 且角PAQ=60度
所以三角形APQ等边