Question

∫xe^x/(√e^x-2)dx

这个我要t=(√e^x-2)
最后得到∫（t^2+2）ln(t^2+2)/t dt 最后用分部积分法得到结果是
(e^x-2)(x-1)/2+2(1-x)/e^x-2 可是正确结果却是2（x-2）(√e^x-2) + 4√2（arctan(√e^x-2/2)） + C
请问高手这是怎么得出来的？

Answer 1

令t=√(e^x-2)，
则原式∫(xe^x)/√(e^x-2)dx=2∫ln(t^2 +2)dt
=2[t*ln(t^2 +2) - ∫(2t^2)/(t^2 +2) dt]
=2[t*ln(t^2 +2) - ∫(2t^2 +4 -4)/(t^2 +2) dt]
=2[t*ln(t^2 +2) - 2t +∫ 4/(t^2 +2) dt]
=2[t*ln(t^2 +2) - 2t +2√2*∫ 1/(t/√2)^2 +1) d(t/√2)]
=2[t*ln(t^2 +2) - 2t +2√2arctan(t/√2)] +C
=2[[√(e^x-2)]*ln([√(e^x-2)]^2 +2) - 2[√(e^x-2)] +2√2arctan([√(e^x-2)]/√2)] +C
=2（x-2)*√(e^x-2) + 4√2（arctan(√[(e^x-2) / 2 ]） + C

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