Question

已知函数f(x)=ax+lnx,x∈(1，e),且f(x)有极值 求函数f(x)的值域 怎么解

已知函数f(x)=ax+lnx,x∈(1，e),且f(x)有极值 求函数f(x)的值域 怎么解

Answer 1

f'(x)=a+1/x=0在(1e)有解
1<x<e
则1/e<1/x<1
a+1/e<a+1/x<a+1
即a+1/e<0<a+1
-1<a<-1/e

f'(x)=a+1/x=0
x=-1/a
所以1<x<-1/a
1>1/x>-a
所以a+1/x>0,增函数
同理
-1/a<x<1/e,a+1/x<0,减函数
所以x=-1/a是最大值

最小在边界
f(1)=a
f(e)=ae+1
ae+1-a=a(e-1)+1
则a<-1/(e-1),f(e)<f(a)

f(-1/a)=-1+ln(-1/a)=-1-ln(-a)

综上
-1<a<-1/(e-1),值域[ae+1,-1-ln(-a)]
-1/(e-1)<a<-1/e,值域[a,-1-ln(-a)]

Answer 2

首先求导，f’（x）=（ax+1）/x
因为有极值，所以令f’（x）=0，x=-1/a，因为x>0又因为极值在（1，e）上，所以a<0且a<-1，所以函数f（x）在定义域（1，e）上先增后减，所以最大值出现在极值x=（-1/a）处，f（-1/a）=1-ln（-a）
最小值用f（1）与f（e）比较，
f（1）=a，
f（e）=1+ae，因为a<-1，所以1+ae<a
所以值域为（1+ae，1-ln（-a））

Answer 3

用导数求 他应该是单调递减或递增 再将定义域也就是x带入 能解