Question

一道高数证明题，要详细步骤的，好的话可以加分哦

设f(x)在（a,b)内二阶可导，且f''（x)>=0.证明对于（a,b)内任意两点x1、x2及0<=t<=1,有 f[(1-t)*x1+t*x2]<=(1-t)*f(x1)+t*f(x2).(注解：*为乘的意思，f''（x)为二阶导数的意思）

Answer 1

不妨设x1<=x2
当x1=x2,显然成立
当x1>x2
原式即t*{f(x2)-f[(1-t)*x1+t*x2]}>=(1-t){f[(1-t)*x1+t*x2]-f(x1)}(1)
f(x)在[x1,x2]内连续(x1,x2)内可导
则由中值定理得
f(x2)-f[(1-t)*x1+t*x2]=f'(m)*(1-t)*(x2-x1) m∈((1-t)*x1+t*x2,x2)
f[(1-t)*x1+t*x2]-f(x1)=f'(n)*t*(x2-x1) n∈(x1,(1-t)*x1+t*x2)
又f"(x)>=0 m>n 得f'(m)>=f'(n) 又0<=t<=1
即f'(m)*t*(1-t)*(x2-x1)>=f'(n)*t*(1-t)*(x2-x1) (1)满足
∴f[(1-t)*x1+t*x2]<=(1-t)*f(x1)+t*f(x2)

Answer 2

不用中值定理也可以证
不妨x1不等于x2，否则是平凡的。
令F(t)=f((1-t)x1+tx2)-[(1-t)f(x1)+tf(x2)]
由于二阶可导，所以F关于t也二阶可导。
关于t求两次导数，得到F">=0.故只有极小值点，在端点取到最大值。
F在而端点t=0,t=1处为零。
所以F<=0.
得证

Answer 3

不妨设x1<=x2
当x1=x2,显然成立
当x1>x2
原式即t*{f(x2)-f[(1-t)*x1+t*x2]}>=(1-t){f[(1-t)*x1+t*x2]-f(x1)}(1)
f(x)在[x1,x2]内连续(x1,x2)内可导
则由中值定理得
f(x2)-f[(1-t)*x1+t*x2]=f'(m)*(1-t)*(x2-x1)
m∈((1-t)*x1+t*x2,x2)
f[(1-t)*x1+t*x2]-f(x1)=f'(n)*t*(x2-x1)
n∈(x1,(1-t)*x1+t*x2)
又f"(x)>=0
m>n
得f'(m)>=f'(n)
又0<=t<=1
即f'(m)*t*(1-t)*(x2-x1)>=f'(n)*t*(1-t)*(x2-x1)
(1)满足
∴f[(1-t)*x1+t*x2]<=(1-t)*f(x1)+t*f(x2)