Question

1+1/2+1/3+...+1/n的和杂算？

Answer 1

这个问题是世界100个难题中，始终没有解决的最后的几个难题之一。在这一点上它和著名的“1＋1”相当。但是它没有大的价值，这又和“1＋1”不同。它已经有了近似公式：1+1/2+1/3+1/4++1/n~=lnn+C(其中lnn是n的自然对数；C=0.577216……是一个专门用来计算调和数列的前n项和的无理数，叫做欧拉常数）迄今为止，没有人算出过它的通项公式。连它是发散的级数这个性质，也是很晚才得出的。后来发现，再给它加个项，-ln(n)的情况下，发现它是收敛的级数，在n趋向于无穷大的时候，定义它的极限为r(咖玛)，称为欧拉常数。1+1÷2+1÷3+.......+1÷n近似的等于ln(n)+r,在n趋向于无穷大时取等号. 当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n)
0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数
1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。
自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):

1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)

得到公式, 用C++实现就容易了 long double Sn( const unsigned int& n ) { const long double euler = 0.57721566490153286060651209;
return ( log( static_cast<long double>(n) ) + euler );
}
一个可以计算欧拉常数的递推公式的
euler= 1 + 1/2 + ... + 1/m -ln(m) - 1/(2m) + 1/(12m^2) - 1/(120m^4) + 1/(252m^6)- o(m)
其中
|o(m)| <= 22.5*(m * PI)^(-7)
因此只要选择一个合适的m使o(m)不影响精度即可

例如，当m=5的时候，精度高于1E-7.

Answer 2

是发散数列，加起来无穷，没法算。