证明在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
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证明：如果f(x)在[a,b]上无界，则存在序列{xn} s.t.
|f(xn)| -> 无穷。
由聚点原理存在子列{xk}及y s.t. xk -> y。
由连续性f(xk)->f(y)。
但是{xk}是{xn}的子列，所以|f(xk)| ->无穷。矛盾。
下证能取到最小值。设m = inf{f(x): x∈[a,b]}
由下确界定义，存在{xn}s.t. f(xn)->m
仿照上面取y，利用连续性得到f(y) = m。
同理可证最大值
|f(xn)| -> 无穷。
由聚点原理存在子列{xk}及y s.t. xk -> y。
由连续性f(xk)->f(y)。
但是{xk}是{xn}的子列，所以|f(xk)| ->无穷。矛盾。
下证能取到最小值。设m = inf{f(x): x∈[a,b]}
由下确界定义，存在{xn}s.t. f(xn)->m
仿照上面取y，利用连续性得到f(y) = m。
同理可证最大值
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