Question

△ABC和△ADE是等腰直角△∠ACB=∠ADE=90°F是BC中点连接DF和CF

（1）如图1点D在AB上点E在AC上DF、CF的关系，并证明；（2）如图2在（1）条件中△ADE绕A点顺时针旋转45°问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论（3）如图3在（1）条件中△ADE绕A点顺时针旋转90度时，若AD=1，AC=2根号2，求此时线段CF的长

Answer 1

已知有问题，若F是BE的中点，则结论可证
图一： DF=CF
证明:：因为角ADE+角BDE=180度
角ADE=90度
所以角BDE=90度
所以三角形BDE是直角三角形
因为F是BE的中点
所以DF是直角三角形BDE的中线
所以DF=1/2BE
因为角ACB=90度
所以三角形BCE是直角三角形
所以CF是直角三角形BCE的中线
所以CF=1/2BE
所以DF=CF
图二：DF=CF
证明：延长DF与BC相交于M
因为角ADE+角EDF=180度
角ADE=90度
所以角EDF=90度
因为角ACB=90度
所以三角形DCM是直角三角形
角EDF=角ACB=90度
所以DE平行CB
所以角EDF=角BMF
角DEF=角MBF
因为F的BE的中点
所以BF=EF
所以三角形DEF和三角形MBF全等（AAS)
所以DF=MF
所以CF是直角三角形DCM的中线
所以DF=CF
图三：DF=CF
证明：延长DF与AB相交于N
因为三角形ADE是等腰直角三角形
所以AD=DE
角DAE=角AED=角AEF+角DEF=45度
因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以AC=BC
角BAC=角CBN=角NBF+角CBF=45度
所以角AEF+角DEF=角NBF+角CBF
角ACB=90度
因为角EAC=90度
所以角EAC=角ACB=90度
所以AE平行BC
所以角AEF=角CBF
所以角DEF=角NBF
因为F是BE的中点
所以EF=BF
因为角DFE=角NFB
所以三角形DEF和三角形NBF全等（ASA)
所以DF=FN=1/2DN
DE=BN
因为角DAC=角EAC-角EAD=90-45=45度
所以角DAC=角CBN=45度
所以三角形CAD和三角形CBN全等（SAS)
所以角BCN=角ACD
因为角ACB=角BCN+角ACN=90度
所以角ACD+角ACN=角DCN=90度
所以三角形DCN是直角三角形
所以CF是直角三角形DCN的中线
所以CF=1/2DF
因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以AB^2=AC^2+BC^2
AC=BC=2倍根号2
所以AB=4
因为AD=DE=1
所以BN=1
因为AB=AN+BN
所以AN=4-1=3
因为角BAC+角DAC=角DAN=90度
所以三角形DAN是直角三角形
由勾股定理得：
DN^2=AD^2+AN^2
所以DN=根号（3^2+1^1)=根号10
所以CF=根号10/2

Answer 2

（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．
（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．
（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=2
2
，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．

Answer 3

错了吧？F应该是BE中点吧？BC没法做吧貌似