Question

如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,求证:AB²-AP²=PB×PC

如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,求证:AB²-AP²=PB×PC
明天就要用到了，拜托了！

Answer 1

本题可通过构建直角三角形求解，作BC边上的高AF；可在Rt△ABF和Rt△APF中，分别用勾股定理表示出AF的长，联立两式即可求得所证的结论．

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解：过A作AF⊥BC于F．

在Rt△ABF中，AF²=AB²-BF²；
在Rt△APF中，AF²=AP²-FP²；
则AB²-BF²=AP²-FP²；
即AB²-AP²=BF²-FP²=(BF+FP)(BF-FP)；
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=FC(三线合一)；
∴BF+FP=CF+FP=PC，BF-FP=BP；
∴AB²-AP²=BP•PC．

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Answer 2

证明：设P为BC上任意一点，作AD⊥BC 根据勾股定理得： AP^2＝AD^2＋BD^2 因为AB＝AD，AD⊥BC 所以根据“三线合一”性质得BD＝CD 所以PB*PC＝(BD－PD)(CD＋BD) ＝(BD－PD)(BD＋PD) ＝BD^2－PD^2 所以 AP^2＋PB*PC ＝AD^2＋BD^2＋BD^2－PD^2 ＝AD^2＋BD^2 因为由勾股定理得： AD^2＋BD^2＝AB^2 所以AB^2－AP^2＝PB*PC

追问

那个 ^ 是什么意思啊

追答

“^”是一个用来表示第三级运算的数学符号

Answer 3

作AD⊥BC于D，则
AB²=AD²+BD²
AP²=AD²+PD²
∴AB²－AP²=BD²－PD²
=（BD+PD）（BD－PD）
∵AB=AC
∴BD=CD
∴BD+PD=CD+PD=PC
∵BD－PD=PB
∴:AB²-AP²=PB×PC