Question

y=x^2-2x-3

连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为直角三角形，求
出P坐标或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形

Answer 1

1、由函数解析式可知：A(3,0),C(0,-3),对称轴x=1。
设P点坐标(1,y)，则有∣PA∣^2+∣PC∣^2=∣AC∣^2
即：(1-3)^2+(y-0)^2+(1-0)^2+(y+3)^2=(3-0)^2+(0+3)^2
整理得：2y^2+6y-4=0
由求根公式解得：y1=(√17-3)/2；y2= -(√17+3)/2
∴C点坐标为[1，(√17-3)/2]或[1，-(√17+3)/2]
2、设P点坐标(x,y)，据题意有：
∣AC∣^2+∣PC∣^2=∣PA∣^2或∣PA∣^2+∣AC∣^2=∣PC∣^2
即有 y=-x-3
或y=3-x (过程同1，略）
分别于y=x^2-2x-3联立方程组，
解得x1=0；x2=1；或x3=3；x4=-2。
对应y1=-3；y2=-4；或y3=0；y4=5
∴C点坐标为(0,-3) 或(1,-4) 或(3,0) 或(-2,5)

Answer 2

给你讲一下方法吧，求解直角的时候一般设p点的坐标为（x，y）y用x表示，可先假设角apc为直角，利用c，p的坐标可表示直线cp的斜率，同理ap的斜率，由这两条直线垂直可得斜率乘积为-1。然后再讨论a、c为直角的情况就行了。