Question

已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C

将抛物线沿对称轴向上平移k个单位长度后与线段BC交于D，E两个不同的点，求k的取值范围。

请问可不可以用初中知识解决？

Answer 1

BC:y/3=(x-3)/3,    y=x-3

抛物线沿对称轴向上平移k个单位长度后，y=(x-1)²-4+k

与线段BC交于E点。

 y=x-3

y=(x-1)²-4+k

解得：x=3/2±√(9/4-k)。

因为只有一个交点E，所以√(9/4-k)=0，k=9/4=2.25。

∴k＜2.25（k=2.25与BC只有一个交点，那么k＜2.25就一定有2个交点。）

Answer 2

已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C，将抛物线沿对称轴向上平移k个单位长度后与线段BC交于D，E两个不同的点，求k的取值范围。

解：令y=(x+1)(x-3)=0,得x₁=-1，x₂=3；因此A（-1，0)；B(3，0)；
又x=0时y=-3，因此C点的坐标为（0，-3)；
y=(x-1)²-4，故顶点坐标为（1，-4)；
BC所在直线的斜率k=1，故BC所在直线的方程为y=x-3；
将抛物线向上平移k个单位长度后，抛物线的方程变为y=x²-2x-3+k；
令x²-2x-3+k=x-3，即有x²-3x+k=0，因为此时的抛物线与BC只有两个交点，因此其判别式Δ=9-4k>0，于是得0≦k<9/4，这就是k的取值范围。
以上这些内容应该没有超出初中的知识范围。