Question

设x、y＞0，a+b=1，求证（1）0＜ab≤1/4 （2）1/2≤a²+b²＜1 （3）1＜根号a+根号b≤根号2

（4）1/a+1/b≥4 （5）（1+1/a+1/b≥9

Answer 1

(1)
∵a，b＞0，a+b=1
(a+b)≥√(ab)
∴ab≤(a+b)²/4=1/4
又a无限接近0时，b无限接近1
∴ab无限接近0
∴0<ab≤1/4

(2)
(a²+b²)/2-(a+b)²/4
=(2a²+2b²)/4-(a²+2ab+b²)/4
=(a²-2ab+b²)/4
=(a-b)²/4≥0
∴(a+b)²/4≤（a²+b²)/2
即1/2≤a²+b²
∵a+b=1,a>0,b>0
∴0<a<1 ,0<b<1
∴a²<a,b²<b
∴a²+b²<a+b=1
∴1/2≤a²+b²<1
（3）
∵a+b=1,a>0,b>0
∴0<a<1 ,0<b<1
∴√a>a ,√b>b
∴1＜√a+√b
∵ab≤1/4
∴√(ab)≤1/2
∴2√(ab)≤1
∴(√a+√b)²=a+b+2√(ab)≤1+1=2
∴√a+√b≤√2

∴1＜√a+√b≤√2
4）
1/a+1/b
=(1/a+1/b)*(a+b)
=1+1+b/a+a/b≥2+2=4

追问

老师 太爱你了、、、、

追答

（1）
(a+b)/2≥√(ab) 【左边打丢了分母】

（5）输入有误

追问

。。。。。。。。。。

追答

（5）
1/a+1/b≥4
1+1/a+1/b≥5

追问

然后？

追答

没有然后，你输入的是个错误