Question

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为"神秘数"如:4=二平方减零的平方十

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为"神秘数"如:4=二平方减零的平方十二等于四平方减二平方二十等于六平方减四平方四十二二十都是神秘数
（1）28和2012这两个数是神秘数吗为什么
（2）设两个连续偶数为2k十2k和2k(其中k取非负整数)，有这两个连续偶数构造
的神秘数十四的倍数吗为什么
(3)两个连续奇数的平方差是神秘数吗为什么

Answer 1

解1：
设：28是神秘数，k是自然数
依题意，有：
28=(2k+2)²-(2k)²
28=(2k+2+2k)(2k+2-2k)
28=(4k+2)×2
28=8k+4
24=8k
k=3
因此：28=8²-6²，与所设相符。
设：2012是神秘数
同理，有：
2012=(2k+2)²-(2k)²
2012=8k+4
8k=2008
k=251
因此：2912=504²-502²，与所设相符。

解2：
由“解1”可知：
神秘数=(2k+2)²-(2k)²=4(2k+1)
是4的倍数。

解3：
因为神秘数的定义是：可以由两个连续偶数的平方差表示的的正整数，是神秘数。
因此：两个连续奇数的平方差不是神秘数。

Answer 2

（1）、28=8^2-6^2，2012=504^2-502^2，所以28、2012是“神秘数”；
（2）、设两个连续偶数为2k、2k+2，
——》(2k+2)^2-(2k)^2=4(2k+1)，是4的奇数倍，
（3）、设两个连续奇数为2k-1、2k+1，
——》(2x+1)^2-(2k-1)^2=8k，是4的偶数倍，所以不是“神秘数”。

Answer 3

⑴28和2012这两个数是神秘数
∵依题设较小的偶数为x，较大的则为x+2
有（x+2）²-x²=28
解得当差为28是，x=6，所以另一个偶数是x+2=8；
∴8²-6²=64-36=28
∵当（x+2）²-x²=2012，
解得x=,502，另一个偶数,504
∴ 504²-502²=2012

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数。
∵（2k+2）²-（2k）²
=8k+4
=4（2k+1）
所以设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数。
（3）两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数。
∵设较小的奇数为x，较大的则为x+2。
（x+2）²-x²=神秘数（x+2为较大的奇数）成立，比如8是3和1的神秘数：3²-1²=8；16是5和3的神秘数：5²-3²=16；等等。