Question

求解一道简单高中数学题

在三角形ABC中，3sinB=sin(2A+B).4tanA/2=1-tan∧2 A/2 1.求证A+B=派/4 2若a b c 分别是角A B C对边，a=2.求c和三角形ABC的面积

Answer 1

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
∴tan(A) = (2tanA/2)/(1-tan^2A/2)
4tanA/2=1-tan∧2 A/2

∴tan A=1/2

∴sinA=√5/5 cosA=2√5/5
sin2A=2sinAcosA=2*√5/5*2√5/5=4/5
cos2A=3/5
3sinB=sin(2A+B)

3sinB=sin2AcosB+sinBcos2A=4/5cosB+3/5sinB
tanB=1/3
sinB=√10/10 cosB=3√10/10
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=√5/5*3√10/10+√10/10* 2√5/5=√2/2
得A+B=派/4

2，余弦定理

c²=a²+b²-2abcosC
A+B=派/4
C=3π/4
sinB=√10/10=h/a
h=√10/5
sinA=√5/5=h/b
b=√2
c²=4+2+4=10
c=√10
面积s=1/2cbsinA=1/2*√2*√10*√5/5=1

Answer 2

1）证明：∵.4tanA/2=1-tan² A/2
4tanA/2=(2tanA/2)/tanA(正切倍角公式)
∴tanA=1/2
即2sinA=cosA
（ 2sinA）²=（cosA）²
4sin²A=cos²A
4sin²A=1-sin²A
∴ sin²A=1/5，即sinA=√5/5；cos²A=4/5，即cosA=±2√5/5，
∴sin2A=2sinAcosA=4/5，cos2A=2cos²A-1=3/5(正弦余弦倍角公式)
又 ∵ 3sinB=sin(2A+B)

3sinB=sin2AcosB+cos2AsinB（正弦两角和公式）
3tanB=sin2A+cos2AtanB（两边同除以cosB）
3tanB=4/5+3/5tanB
∴tanB=1/3
∴tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)(正切两角和公式)
=(1/2+1/3)/(1-1/2×1/3)
=1
故A+B=∏/4

（2）解：∵a/sinA=c/sinC，a=2.，且（1）已知得：sinA=√5/5
∴ 2/(√5/5)=c/（√2/2）
∴ c=√10
又 tanB=1/3
即3sinB=cosB
（ 3sinB）²=（cosB）²
9sin²B=cos²B
9sin²B=1-sin²B
∴sinB=√10/10
因而三角形ABC的面积S△=(ac/2)sinB=(2×√10)/2×(√10/10)=1

Answer 3

根据4tanA/2=1-tan∧2 A/2 得出tan A=1/2，再把3sin B=sin （2A+B）化简，根据tan A，得出tan B=1/3，tan （A+B）=1，所以（1）得证。（2）根据正弦定理求出b，再用A和B得三角函数值得出sin C，S=1/2absin C