Question

已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根为α、β

已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x^2+(a+1)x+β^2=0与x^2+(β+1)x+α^2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式

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Answer 1

后两个方程相减得 (α-β)x-(α^2-β^2)=0 ，
因为 α ≠ β ，所以两边同除以 α-β 后解得 x=α+β ，这就是后两个方程的公共根，
代入最后一个方程得 (α+β)^2+(β+1)(α+β)+α^2=0 ，
化为 2(α+β)^2+(α+β)-αβ=0 ，
由二次方程根与系数关系可得 α+β= -b/a，αβ=c/a ，
代入上式得 2(-b/a)^2-b/a-c/a=0 ，
化简得 2b^2-ab-ac=0 。