Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，且AD=2/3AB，DF平行于BC，E为BD

如图，在三角形ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，且AD=2/3AB，DF平行于BC，E为BD的中点。若EF垂直于AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为_______。 规定只能通过做辅助线，延长FE和CB交于点G来解。并求详细过程。谢谢。

Answer 1

取FC中点M　连接EM
∴DE＝BE　FM＝CM
∴EM为梯形DFCB中位线
∴EM＝（4＋6）÷2＝5
且DF∥EM∥BC
做FK⊥BC交FM于G点
∴∠FKE＝90°
由已知　∠EFC＝90°
∴∠EFG＋∠CFK＝∠EFG＋∠FEM
∴∠CFK＝∠FEM
∵∠EFC＝∠FKC＝90°
∴△EFM∽△FKC
∵AD＝三分之2AB
设DE＝BE＝X　则AD＝4X
∵DF∥BC
∴△ADF∽△ABC
AD比AB＝DF比BC=4X比6X=2比3
∵BC=6 所以DF=4
做D做DO垂直BC ∴△DBO≌△FCK
∴CK＝（6－4）÷2＝1　　CF＝DB＝2X
∵△EFM∽△FKC
∴FC比CK＝EM比FM
∴2X比1＝5比X
解得X＝2分之根号10
∴FC＝根号10　勾股定理算得高FK＝3
∴S＝（DF+BC）×FK÷2=（4+6）×3÷2＝15

追问

这个方法我看懂了，可是我们老师让我们思考是否可以通过延长FE和CB交于点G这种辅助线来求解。你有办法吗？

追答

我看看

∵DF∥BC，∴DF/BC=AD/AB=2/3，
∴DF=2/3BC=4，
延长FE交CB延长线于G，
∵DF∥BC，∴∠G=∠DFE，∠DEF=∠DBG，
∵DE=BE，∴ΔEBG≌ΔEDF，BG=DF=4，
∴S梯形DBCF=SΔGCF，
再根据我刚才那种方法计算出的CF=根号10。CG=BC+BG=10，勾股定理求得FG=根号90
所以ΔGCF面积=根号10x根号90/2=30/2=15