Question

用施密特正交法将下列向量组化成正交向量 a1=(1,2,2,-1) a2=(1,1,-5,3) a3=(3,2,8,-7)

求速度

Answer 1

Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

设。是上的维子空间，其标准正交基为，且不在上。由投影原理知，与其在上的投影之差

是正交于子空间的，亦即正交于的正交基。因此只要将单位化，即

那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。

根据上述分析，对于向量组张成的空间 ()，只要从其中一个向量（不妨设为）所张成的一维子空间开始（注意到就是的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。

首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下：

这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。