微分中值定理相关证明题目
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记g(x)=f³(x)[f(1-x)]^4，则g(0)=0，g(1)=0
由中值定理，知存在ξ∈(0,1)，使得
g'(ξ)=0，而g'(x)=3f²(x)f'(x)[f(1-x)]^4-4f³(x)f³(1-x)f'(1-x)
∴3f²(ξ)f'(ξ)[f(1-ξ)]^4-4f³(ξ)f³(1-ξ)f'(1-ξ)=0
即f²(ξ)f³(1-ξ)[3f'(ξ)f(1-ξ)-4f(ξ)f'(1-ξ)]=0
由条件知f(ξ)≠0,f(1-ξ)≠0
∴3f'(ξ)f(1-ξ)-4f(ξ)f'(1-ξ)=0
即3f'(ξ)/f(ξ)=4f'(1-ξ)/f(1-ξ)
由中值定理，知存在ξ∈(0,1)，使得
g'(ξ)=0，而g'(x)=3f²(x)f'(x)[f(1-x)]^4-4f³(x)f³(1-x)f'(1-x)
∴3f²(ξ)f'(ξ)[f(1-ξ)]^4-4f³(ξ)f³(1-ξ)f'(1-ξ)=0
即f²(ξ)f³(1-ξ)[3f'(ξ)f(1-ξ)-4f(ξ)f'(1-ξ)]=0
由条件知f(ξ)≠0,f(1-ξ)≠0
∴3f'(ξ)f(1-ξ)-4f(ξ)f'(1-ξ)=0
即3f'(ξ)/f(ξ)=4f'(1-ξ)/f(1-ξ)
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