Question

数学分析，请帮忙看看，谢谢了。。。最后求的是在端点处收敛，不是一致收敛

Answer 1

在[a,b]上, 把∑U_n的部分和记成f_n(x), 和记成f(x)

先用Cauchy收敛原理证明f(b-)存在
(1) 对于任何ε>0, 存在N, 当n>=N时|f_n(x)-f(x)|<ε/3对一切x∈(a,b)成立
(2) 由f_N(x)的一致连续性, 存在δ>0, 当|x-y|<δ时|f_N(x)-f_N(y)|<ε/3
然后对于x,y∈(b-δ,b), 有
|f(x)-f(y)| <= |f(x)-f_N(x)| + |f_N(x)-f_N(y)| + |f(y)-f_N(y)| < ε
这样就证明了x->b-时f(x)的极限确实存在(并且是一个有限数)

接下来证明上述极限f(b-)其实就是f(b)
前面已经证明了
对任何ε>0, 存在δ>0, 当x∈(b-δ,b)时|f(x)-f(b-)|<ε/2
并且存在N, 当n>=N时|f_n(x)-f(x)|<ε/3
所以|f_n(x)-f(b-)|<ε
对于每个给定的n, 这个不等式左端关于x连续, 让x->b-得到|f_n(b)-f(b-)|<=ε
这样就证明了n->oo时f_n(b)->f(b-), 也就是说f(b)=f(b-)

追问

谢谢你，非常谢谢，很多问题都是你帮忙解决的