Question

设定义在[-2,2]上的偶函数f﹙x﹚在区间[0,2]上单调递减，若f（1-m)＜f﹙m﹚,求实数m的取值范围

Answer 1

定义在<-2,2>上的偶函数f(x)在区间<0,2>上单调递减，
因为f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x),函数图像关于y轴对称，
所以f(x)在区间<0,2>上单调递增。
f(1-m)<f(m),
分四种情况讨论：
（1）0<=1-m<=2,0<=m<=2，得0<=m<=1,
则由f(x)在区间<0,2>上单调递减有，1-m>m,2m<1,m<1/2,
从而0<=m<1/2;
（2）-2<=1-m<=0->1<=m<=3,
-2<=m<=0,没有交集，说明这种情况不存在;
（3）0<=1-m<=2,-2<=m<=0，得-1<=m<=0,
f(1-m)<f(m)=f(-m),由f(x)在区间<0,2>上单调递减有，
1-m>-m,1>0, 显然成立，
从而-1<=m<=0；
（4））-2<=1-m<=0，0<=m<=2，得1<=m<=2,
f(1-m)=f(m-1)<f(m),由f(x)在区间<0,2>上单调递减有,
m-1>m,-1>0, 显然无解，所以这种情况也不存在；

所以综上所述数m的取值范围：
0<=m<1/2或-1<=m<=0，即-1<=m<1/2.