Question

求解一道高等代数题目

Answer 1

提示：
(1) 存在u(x). v(x)使得u(x)m(x)+v(x)phi(x)=d(x)
(2) 直接看特征值

追问

如何证明v(A)phi(A)的秩等于d(A)的秩？

追答

v(A)phi(A)=d(A)，秩当然也要相等

追问

不是不是，是如何证明乘上v(A)对phi(A)的秩没有影响

追答

利用 r(XY) <= min{r(X), r(Y)}

首先 v(A)phi(A)=d(A) 得到 r(d(A)) <= r(phi(A))
另一方面d(x)是phi(x)的因子，所以存在多项式p(x)使得phi(x)=p(x)d(x)，然后phi(A)=p(A)d(A)推出r(phi(A)) <= r(d(A))

追问

第二问能再说的详细一点吗？

追答

phi(A)可逆等价于其特征值非零
这点提示本来足够了，如果你实在不愿意动脑筋那我也不愿意帮你

追问

如果不是认真思考过了谁会再来问你？虽然我是个学渣，数学很水，即使你给了提示我思考了很久也还是想不出来，但我也努力去把数学学好了，而你虽然是学霸，也没有权力侮辱我的付出和努力。谢谢你之前的回答和提示，分给你好了，对不起，侮辱你智商让你做这么简单的题。

追答

"如果不是认真思考过了谁会再来问你？"
百度上这样的人太多了，如果你不是这种人，那么我很乐意在我的能力范围内帮助你。

追问

数学不好。。。我每天都要用时间做这个题，但还是不会，我还有其他的课，不可能再投入更多的时间了。

追答

题不会做没关系，可以先放一放，每天花点时间把基本的定义和一些相关性质复习复习，等理解定义了慢慢就会做题了

追问

要交作业了。。。今天。。。

大神，能再帮我做道题么？想了半天了还是不会

练习3，其他的我可以自己做，就3想了好半天

追答

如果对任何向量\alpha都有\sigma^{t-1}\alpha=0，那么\sigma^{t-1}=0，说明\sigma的幂零次数不超过t-1，矛盾，所以存在\alpha使得\sigma^{t-1}\alpha\neq0。
然后直接用定义验证凡是反目\sigma^{t-1}\alpha\neq0的\alpha总能使B线性无关（在线性组合为0的条件下逐个验证系数为0）。
如果\sigma在B下的矩阵表示是J的话，按定义应有\sigma(B)=BJ，逐列比较写出J即可。

追问

好吧，谢谢大神，这题放到上学期我可能还会做的。。。那个存在搞得我不知道该怎么弄了。

你是哪个大学的老师么？感觉你好厉害

您好，能再帮我看一道题么？

酉空间V中的线性变换，如果任意的不变子空间的正交补也是不变子空间，则该变换为正规变换

追答

只需要证明该变换可以酉对角化
任取一个特征向量张成一维的不变子空间，然后用条件归纳一下就出来了

追问

第一题怎么证呢？

追答

任何复方阵都可以酉上三角化
正规阵可以酉对角化