Question

如图，抛物线y=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于M。

连接CP，在第一象限的抛物线上是否存在一点R，使△RPC与△RMB面积相等，若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

设抛物线方程为 y=a(x+1)(x-3)，再将C点坐标(0,3)代入确定 a=-1；所以 y=-x²+2x+3；
对称轴 x=1，P点坐标(1,4)，M点坐标(0,2)；
假设存在点 R(x,y)，作RT⊥x轴交 x 轴于T、PW⊥x轴交于W；
S△RMB=S◇RMWT+S△RBT-S△MWB=[(2+y)(x-1)/2]+[(3-x)y/2]-(2*2/2)=x+y-3；
S△PRC=S◇PCOW+S◇PWTR-S◇COTR
=[(3+4)*1/2]+[(4+y)*(x-1)/2]-[(3+y)*x/2]=(x-y+3)/2；
按题意，S△RMB=S△PRC，x+y-3=(x-y+3)/2；
化简 x+3y-9=0，即 -3x²+7x=0，解得 x=7/3（x=0 对应B点，不合题意，舍去）；
y=-(7/3)²+2*(7/3)+3=20/9；R点坐标(7/3,20/9)；