Question

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交直线BC于D（1）当∠A为直角时，（如图①

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交直线BC于D（1）当∠A为直角时，（如图①）求证:AB²=BD·BC（2）当∠A为钝角或锐角时结论是否改成立，请说明里有

Answer 1

连接AD,可知AD⊥BC,且AD=BD=CD,S△ABC=BC×AD×1/2=AB×AC×1/2,AD=BD,AB=AC,代入上式,有AB²=BD*BC,得证;

∠A为钝角时,作AF⊥BC于点F,可知F是BC中点,连接AD,作BH⊥CA延长线于点H,∠BAH=2∠B,∠ADF=2∠B,AF=AD×sin2∠B①,BH=AB×sin2∠B②,S△ABC=BC×AF×1/2=AC×BH×1/2,将①②两式代入上式,得到BD*BC=AB²,∴∠A为钝角时仍成立;

当∠A为锐角时,连接AD,可证△BDE≌△ADE,∴∠B=∠DAB,∴△DAB是等腰三角形,∴∠B=∠ACB=∠BAD,∴△ABC∽△DAB,∴BC/AB=AB/BD,∴AB²=BC*BD,∴∠A为锐角时,结论仍然成立

Answer 2

连接AD,可知AD⊥BC,且AD=BD=CD,S△ABC=BC×AD×1/2=AB×AC×1/2,AD=BD,AB=AC,代入上式,有AB²=BD*BC,得证;

∠A为钝角时,作AF⊥BC于点F,可知F是BC中点,连接AD,作BH⊥CA延长线于点H,∠BAH=2∠B,∠ADF=2∠B,AF=AD×sin2∠B①,BH=AB×sin2∠B②,S△ABC=BC×AF×1/2=AC×BH×1/2,将①②两式代入上式,得到BD*BC=AB²,∴∠A为钝角时仍成立;

当∠A为锐角时,连接AD,可证△BDE≌△ADE,∴∠B=∠DAB,∴△DAB是等腰三角形,∴∠B=∠ACB=∠BAD,∴△ABC∽△DAB,∴BC/AB=AB/BD,∴AB²=BC*BD,∴∠A为锐角时,结论仍然成立

Answer 3

采纳先

Answer 4

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