Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB中点,EF分别为边BC和边AC上两点,且∠EDF=90

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，E，F分别为边BC和AC上两点，且∠EDF=90°;（1）求证:AF^2+BE^2=EF^2；（2）若BE=5，AF=12，求EF的长

Answer 1

【1】
下面给出一个三角证法
设∠DEB=x,∠BDE=y,∠EBD=z.则∠DFC=x,∠AFD=180°-x,
∠ADF=90°-y,∠DAF=90-z.
在△BDE，△ADF中,由正弦定理得
BD/sinx=DE/sinz=BE/siny;
AD/sinz=DF/cosz=AF/cosy.
∵DE⊥DF,∠C=90°,∴C,E,D,F四点共圆，且EF为直径。
故EF=CD/sinx.
又∵D是Rt△ACB斜边上的中点，∴CD=AD=BD.
故 EF=BE/siny=AF/cosy,
因此AF^2+BE^2=EF^2*[(siny)^2+(cosy)^2]=EF^2.
【2】
作AG//BC交CD延长线于G
因∠DEB=∠DGA ，AD=BD
又有对顶角 ，故△DEB≌△DGA
于是AG=BE=5 ，DG=DE，又FD⊥GE
故GF=EF
而GF=（√AF^2+AG^2)=√(12^2+5^2)= 13 ,
即EF=13