Question

已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点

的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）P为线段AB上一动点（P不与A,B重合），过P做x轴垂线与二次函数交于点E，求PE的最大值。（2）若P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．（3）若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；（4个）若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)
顶点M(1, 0), 二次函数可表达为y = a(x - 1)²
过A(3, 4): a(3 - 1)² = 4, a = 1
二次函数: y = (x - 1)² = x² - 2x + 1
A(3, 4)在直线y = x + m上: 3 + m = 4, m = 1
直线: y = x + 1
(2)
y = x + 1 = x² - 2x + 1
x² - 3x = x(x - 3) = 0, x = 0 (x = 3, 点A)
B(0, 1)
B关于x轴的对称点为B'(0, -1)
AB'的方程: (y + 1)/(4 + 1) = (x - 0)/(3 - 0)
取y = 0, x = 3/5
Q(3/5, 0)
(∆OBQ与∆OB'Q全等，BQ = B'Q, B', Q, A在一条直线上)
(3)
y = x + 1, x = a, y = a + 1, D(a, a + 1)
y = (x - 1)², x = a, y = (a - 1)², E(a, (a - 1)²)
DE = a + 1 - (a - 1)² = -a² + 3a = -(a - 3/2)² + 9/4
a = 3/2时, DE最大, 为9/4
y = x + 1, x = 1, y = 2, N(1, 2)
MN = 2
MN与DE平行，只需MN = DE即可

-a² + 3a = 2
a² - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2) = 0
a = 1, MN与DE重合，舍去
a = 2, P(2, 0)

追问

很抱歉，您为我解答的似乎与题意不符，第三部我们老师说有四个答案，分别为（2,0），（3+根号7/2），（3-根号7/2），（0,1），就最后一个（0,1）我不知道怎么求，能帮我再看看吗？也有可能我错了，谢谢，麻烦了。。

对不起，我发现我错了。。不好意思