Question

已知向量m=(根号3sin2X+t,cosX),向量n=(1,2cosX)设函数f(x)=向量m乘以向量n

已知向量m=(根号3sin2X+t,cosX),向量n=(1,2cosX)设函数f(x)=向量m乘以向量n
1)若cos(2X-兀/3)=1/2且向量m垂直向量n求实数t
2)在三角形ABC中a b c分别是角A B C的对边若f(A)3,b=1且三角形ABC的面积为根号3/2,实数t=1求边长a

Answer 1

解：（1）由cos(2X-兀/3)=1/2，得：cos(2X-兀/3)=cos2xcos兀/3+sin2xsin兀/3=1/2cos2x+(根号3)/2sin2x=1/2即cos2x+根号3sin2x=1<1> 由向量m垂直向量n，得：根号3sin2x+t+2cos^2x=0即：根号3sin2x+t+cos2x=0<2> 由<1><2>得t=-1（2）由f(A)=3得：cos2A+根号3sin2A+t+1=3又t=1故：cos2A+根号3sin2A=1即cos（2A-兀/3）=1/2故2A-兀/3=兀/3，所以A=兀/3；又三角形ABC的面积为（根号3）/2即：S=1/2bcsinA=c（根号3）/4=（根号3）/2；故c=2

Answer 2

f(x)

=√3sin2x+t+2cos�0�5x

=√3sin2x+cos2x+1+t

=2sin(2x+π/6)+1+t

=2cos(2x-π/3)+1+t

(1)cos(2x-π/3)=1/2且m⊥n

∴f(x)=2+t=0

∴t=-2

(2)t=1，f(x)=2cos(2x-π/3)+2

f(A)=3，则2A-π/3=π/3，∴A=π/3

b=1

S△ABC=�0�5bc*sinA=√3/2

∴c=2

∴a�0�5=b�0�5+c�0�5-2bc*cosA=1+4-2*2*�0�5=3

∴a=√3