Question

抛物面x^2+y^2=az与锥面z=2a-√(x^2+y^2)所围立体的表面积

抛物面x^2+y^2=az与锥面z=2a-√(x^2+y^2)所围立体的表面积

Answer 1

锥面 z=2a-√(x^2+y^2), 则 z<2a.
联立解 z=2a-√(x^2+y^2) 与 x^2+y^2=az，
得 (2a-z)^2=az, (z-a)(z-4a)=0 , 因 z<2a，
得交线所在平面 z=1, 交线在xOy平面的投影 x^2+y^2=a^2.
该两曲面所围立体是：交线上部是圆锥，底面半径为a，高为 2a-a=a；
交线下部是抛物面 x^2+y^2=az，高为a。
圆锥的母线长为 L=√2a， 侧面积 S1=πaL=π√2a^2.
抛物面的侧面积
S2 =∫∫<D>√[1+(z'<x>)^2+(z'<y>)^2]dxdy
=∫∫<D>√[1+4x^2/a^2+4y^2/a^2]dxdy
= (1/a)∫∫<D>√[a^2+4(x^2+y^2)]dxdy
= (1/a)∫<0,2π>dt∫<0,a>√(a^2+4r^2)rdr
= (1/a)*(2π/8)∫<0,a>√(a^2+4r^2)d(a^2+4r^2)
= (1/a)*(π/4)(2/3)[(a^2+4r^2)^(3/2)]<0,a>
= (π/6)(5√5-1)a^2.
则所求表面积 S = S1+S2 =(π/6)(6√2+5√5-1)a^2.