Question

高中数学，导数的问题，在线等，谢谢~

Answer 1

定义域x>0
则f'（x）=（a-1）/x+2ax=(2ax²+a-1)/x
1.a≥1时，f'（x）>0,f(x)在x>0单调递增
2.0<a<1时，令f'（x）=0，解得x=√（1-a）/2a （负的舍去）
所以f(x)在x>√（1-a）/2a 单调递增，在0<x<√（1-a）/2a 单调递减
3 a≤0时，f(x)在x>0单调递增减

移项的f(x1)-2x1>f(x2)-2x2
令g(x)=f(x)-2x=（a-1）lnx+ax²-2x+1,在x1>x2>0，总有g(x1)>g(x2),所以g(x)在x>0是增函数
求导g'(x)=(a-1)/x+2ax-2
所以g'(x)=(a-1)/x+2ax-2>0在x>0恒成立
两边都乘以x 2ax²-2x+a-1>0恒成立(x>0)
令H(x)=2ax²-2x+a-1
(1)a=0,-2x-1>0,x<-1/2,不符合
（2）2次函数要想恒大于0，开口向上，最小值大于0
a>0,H(1/(2a))>0,-1/(2a)+a-1>0
2a²-2a-1>0
a>√3 /2 +1/2
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