Question

定积分求解，要详细步骤，多谢！

Answer 1

答：
先求不定积分
∫√(x²+1) dx
=x√(x²+1) -∫ x d [ √(x²+1) ]
=x√(x²+1)- ∫ x *(1/2)*2x /√(x²+1) dx
=x√(x²+1) -∫ (x²+1-1) /√(x²+1) dx
=x√(x²+1) -∫ √(x²+1) dx+∫ 1/√(x²+1) dx
所以：
2∫ √(x²+1) dx=x√(x²+1) +∫ 1/√(x²+1) dx
=x√(x²+1)+ln [x+√(x²+1) ]
所以原定积分
=√2*√3+ln(√2+√3) -0-0
=√6+ln(√2+√3)

追问

麻烦把第四个等号到所以那的步骤再详细说一下好吗，另外我想问下在＂所以＂那步里你是怎么想到把积分和对数联系到一起的？有什么线索吗？

追答

省略第1到3个等号为：

∫√(x²+1) dx=x√(x²+1) -∫ √(x²+1) dx+∫ 1/√(x²+1) dx

把右边的∫√(x²+1) dx移项到左边就有：
2∫√(x²+1) dx=x√(x²+1) +∫ 1/√(x²+1) dx

∫ 1/√(x²+1) dx是有积分公式的：

追问

多谢！👌

追答

不客气