Question

直线l与圆x²+y²+2x=0相切于点T,且与双曲线x²-y²=1相交于A,B两点

若T是线段AB中点，求直线l的方程

Answer 1

y=ax+b

x²+(ax+b)²+2x=0
(a²+1)x²+(2ab+2)x+b²=0
因为相切，解唯一，判别式=0
(2ab+2)²=4b²(a²+1)
(ab+1)²=b²(a²+1)

设唯一解xo
2xo=-(2ab+2)/(a²+1)

x²-(ax+b)²-1=0
(1-a²)x²-2abx-(b²+1)=0
(x1+x2)=2ab/(1-a²)
根据中位点横坐标
x1+x2=2xo

ab/(1-a²)=-(ab+1)/(1+a²)

总结有两个关系式
ab/(a²-1)=(ab+1)/(a²+1)
(ab+1)²=b²(a²+1)
相乘
ab(ab+1)/(a²-1)=b²
ab(ab+1)=(ab)²-b²
(ab)²+ab=(ab)²-b²
ab=-b²
a=-b
带回第二式
(-b²+1)²=b²(b²+1)
b^4-2b²+1=b^4+b²
3b²=1
b=+-1/根3

a=-+1/根3

直线方程：
根号3y=x-1 x-根号3y-1=0
或
根号3y=1-x x+根号3y-1=0