Question

一道数学题在线等 f(f(x))=x^+x f(x)=?

Answer 1

:解:(Ⅰ)由题设知f(x)=lnx，g(x)=lnx+
1
x
，
∴g'(x)=
x-1
x2
，令g′(x)=0得x=1，
当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，故(0，1)是g(x)的单调减区间.
当x∈(1，+∞)时，g′(x)＞0，故(1，+∞)是g(x)的单调递增区间，
因此，x=1是g(x)的唯一值点，且为极小值点，
从而是最小值点，所以最小值为g(1)=1.
(II)g(
1
x
)=-Inx+x
设h(x)=g(x)-g(
1
x
)=2lnx-x+
1
x
，则h'(x)=-
(x-1)2
x2
，
当x=1时，h(1)=0，即g(x)=g(
1
x
)，
当x∈(0，1)∪(1，+∞)时，h′(1)=0，
因此，h(x)在(0，+∞)内单调递减，
当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)=0，即g(x)＞g(
1
x
)，
当x＞1时，h(x)＜h(1)=0，即g(x)＜g(
1
x
).
(III)由(I)知g(x)的最小值为1，
所以，g(a)-g(x)＜
1
a
，对任意x＞0，成立⇔g(a)-1＜
1
a
，
即Ina＜1，从而得0＜a＜e