Question

设 z=u^2 lnv，而u=x/y，v=3x-2y，求偏导数。如图

请问我这样解正确吗？还有一问不懂解，麻烦列出详细过程。谢谢。

Answer 1

利用链式法则，∂z/∂x=∂z/∂u*∂u/∂x+∂z/∂v*∂v/∂x=ln(v)*2*u*1/y+u^2*1/v*3=2*x/y^2*ln(3*x-2*y)+3*x^2/y^2/(3*x-2*y)；∂z/∂y同理可求。

求əz/əx时，将y当成常数，求əz/əy时，将x当成常数。

əz/əx=2xy^2ln(3x-2y)+x^2y^2*(3/(3x-2y))。

əz/əy=2yx^2ln(3x-2y)-x^2y^2*(2/(3x-2y))。

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

Answer 2

没有发现问题，思路完全正确。不过一般用复合函数的链式法则求。用链式法则适用性好。

追问

谢谢。那对y的偏导呢？可否也列出算式给我看看。

追答