Question

已知二次函数y=-x 2 +（m-2）x+m+1．（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交

已知二次函数y=-x 2 +（m-2）x+m+1．（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．（2）当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？（3）当m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

Answer 1

（1）证明：△=（m-2） 2 -4×（-1）×（m+1） =m 2 +8， ∵m 2 ≥0， ∴m 2 +8＞0，即△＞0， ∴不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点； （2）设二次函数的图象与x轴有两个交点坐标为（x 1 ，0），（x 2 ，0），则x 1 和x 2 为关于x的方程-x 2 +（m-2）x+m+1=0的两不等实数根，且x 1 ＜0，x 2 ＜0， ∴x 1 +x 2 =m-2＜0，x 1 ?x 2 =-（m+1）＞0， ∴m＜-1； 即m＜-1时，这两个交点都在原点的左侧； （3）根据题意得x=- m-2 2×(-1) =0， 解得m=2， 即m=2时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴．