Question

已知二次函数y=ax 2 +bx+c的图象的顶点坐标为（0， ），且ac= 。 （1）若该函数的图象经

已知二次函数y=ax 2 +bx+c的图象的顶点坐标为（0， ），且ac= 。 （1）若该函数的图象经过点（-1，-1），①求使y＜0成立的x的取值范围；②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标；（2）经过A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M 1 ，N 1 ，设△MAM 1 ，△AM 1 N 1 ，△ANN 1 的面积分别为s 1 ，s 2 ，s 3 ，是否存在m，使得对任意实数p≠0都有s 2 2 =ms 1 s 3 成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）∵二次函数y=ax 2 +bx+c的图象的顶点坐标为（0， ），且ac= ， 又∵函数的图象经过点（-1，-1），代入二次函数解析式得方程组， 解得：a=- ，b=0，c=- ，y=- x 2 - ， ①利用函数图象可知使y＜0成立的x的取值范围是：全体实数； ②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切， 假设与x轴切点为Q，与y轴切点为F， ∴OQ=FO，∴-x=- x 2 - ，整理得：x 2 -2x+1=0，解得：x 1 =x 2 =1， ∴QO=FO=1， ∴圆心的坐标为：（1，-1）或（-1，1）； （2）存在m，使得对任意实数p≠0都有s 2 2 =ms 1 s 3 成立。