Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC。

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC。 （1）若∠B=30°，AB=2，求CD的长；（2）求证：AE 2 =EB·EC。

Answer 1

解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=2， ∴BC=AB·cos30°=2× = ， ∵弦CD⊥直径AB，∠B=30°， ∴ CM= BC= ， CD=2CM= ， （2）证明：∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径， ∴∠BAE=90°，∠ACE=∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠BAE=90°， 又∵∠E=∠E， ∴Rt△ECA∽Rt△EAB， ∴ ， ∴AE 2 =EB·EC。