Question

定义：设函数f（x）在（a，b）内可导，若f′（x）为（a，b）内的增函数，则称f（x）为（a，b）内的下凸函

定义：设函数f（x）在（a，b）内可导，若f′（x）为（a，b）内的增函数，则称f（x）为（a，b）内的下凸函数．（Ⅰ）已知f（x）=e x -ax 3 +x在（0，+∞）内为下凸函数，试求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）为（a，b）内的下凸函数，求证：对于任意正数λ 1 ，λ 2 ，λ 1 +λ 2 =1，不等式f（λ 1 x 1 +λ 2 x 2 ）≤λ 1 f（x 1 ）+λ 2 f（x 2 ）对于任意的x 1 ，x 2 ∈（a，b）恒成立．

Answer 1

（I）f（x）=e x -ax 3 +x在（0，+∞）内为下凸函数等价于x∈（0，+∞）时，f′（x）=e x -3ax 2 +1为增函数； 所以x∈（0，+∞）时，[f′（x）] ′ =e x -6ax≥0恒成立，即 a≤ e x 6x 恒成立 设 g(x)= e x 6x ， g′(x)= e x (x-1) 6 x 2 ， 令g′（x）=0，得x=1，且当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0． 所以在x=1时，g（x）取得最小值为 e 6 ，所以 a≤ e 6 （II）证明：根据上凸函数的定义“f（x）是定义在闭区间[a，b]上的函数，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立” 取x=x 1 ，y=x 2 ，λ=λ 1 ，1-λ=1-λ 1 =λ 2 ，而任意正数λ 1 ，λ 2 ，λ 1 +λ 2 =1，x 1 、x 2 ∈（a，b） 得不等式f（λ 1 x 1 +λ 2 x 2 ）≤λ 1 f（x 1 ）+λ 2 f（x 2 ）对于任意的x 1 ，x 2 ∈（a，b）恒成立．