Question

在平面直角坐标系中，直线 （k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为 个单位长度．⑴如图甲

在平面直角坐标系中，直线 （k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为 个单位长度．⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．①求k的值；②若b=4，点P为直线 上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．⑵若 ，直线 将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）

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Answer 1

（1） ①k＝－1 ②P的坐标为（1，3）或（3，1） （2）b的值为 或

⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b， ∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1. ②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD. ∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°， ∴∠OPD=∠OPC= ∠CPD=45°， ∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°， ∴OD＝PD＝ ，OP= . ∵P在直线y＝－x＋4上， 设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4， ∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2， ∴ m2＋ (－m＋4)2＝（ ）2， 解得m=1或3， ∴P的坐标为（1，3）或（3，1） ⑵分两种情形，y＝－ x＋ ，或y＝－ x－ 。 直线 将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°， 如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC= ， 又∵直线 中 ∴直线与x轴交角的正切值为 ，即 ，∴AC= ，进而可得AO= ，即直线与与x轴交于点（ ，0）． 所以直线与y轴交于点（ ，0），所以b的值为 ． 当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为 ． 综合以上得：b的值为 或 ．