Question

已知：如图①,在Rt△ACB中,∠C＝90º,AC＝6cm,BC＝8cm,点P由B出发沿BC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s

已知：如图①,在Rt△ACB中,∠C＝90º,AC＝6cm,BC＝8cm,点P由B出发沿BC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s；点Q由A出发沿AB方向向点B匀速运动,速度为1cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0＜t＜4）,解答下列问题： （1）当t为何值时,PQ的垂直平分线经过点B？（2）如图②,连接CQ．设△PQC的面积为y（cm 2 ）,求y与t之间的函数关系式； （3）如图②,是否存在某一时刻t,使线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分？若存在,求出此时t的值；若不存在,说明理由.

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Answer 1

（1）当t= 时,PQ的垂直平分线经过点B； （2） ； （3）存在,当 时,线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分．

试题分析：（1）用含有t的代数式表示PB和BQ,再根据线段垂直平分线上的点到线段两段点的距离相等即可； （2）先证△BQH∽△BAC,再根据相似三角形的对应边成比例即可； （3）分两种情况讨论：当S △ AQC =2S △ PQC 时和当2S △ AQC =S △ PQC 时,分别求出t的值． 试题解析：（1）在Rt△ABC中,AB= ． ∵PQ的垂直平分线经过点B ∴PB=BQ ∵PB=2t,PQ=10-t, ∴2t=10-t 解得：t= 即：当t= 时,PQ的垂直平分线经过点B; (2) 如图①过点Q作QH⊥BC于H． ∵∠C=90°, ∴AC⊥BC, ∴QH∥AC, ∴△BQH∽△BAC, ∴ , ∴ , ∴ , ∴ ． （3）存在 如图②过点Q作QM⊥BC于M,QN⊥AC于N, ∵QM⊥BC于M,∠ACB=90°, ∴QM∥AC, ∴△BQM∽△BAC, ∴ , ∴ , ∴ , ∵QN⊥AC于N,∠ACB=90°, ∴QN∥BC, ∴△AQN∽△ABC, ∴ , ∴ , ∴ , ∵线段CQ恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分, ∴S △ AQC =2S △ PQC 或2S △ AQC =S △ PQC 当S △ AQC =2S △ PQC 时, ∴ 当2S △ AQC =S △ PQC 时, ∴ 综上可知：当 时,线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分.