Question

已知函数f（x）=x 3 +bx 2 +cx+d的区间[-1，2]上是减函数，则b+c的取值范围是______

已知函数f（x）=x 3 +bx 2 +cx+d的区间[-1，2]上是减函数，则b+c的取值范围是______．

Answer 1

由f（x）=x 3 +bx 2 +cx+d， 则f′（x）=3x 2 +2bx+c． 要使函数f（x）=x 3 +bx 2 +cx+d的区间[-1，2]上是减函数， 则f′（x）=3x 2 +2bx+c≤0在x∈[-1，2]上恒成立． 所以 f ′ (-1)≤0 f ′ (2)≤0 ，即 3×(-1 ) 2 -2b+c≤0 3× 2 2 +4b+c≤0 ． 也就是 2b-c≥3 4b+c≤-12 ． 以b为横轴，c为纵轴画出可行域如图， 联立 2b-c=3 4b+c=-12 ，解得 b=- 3 2 c=-6 ． 所以可行域上顶点为 (- 3 2 ，-6) ． 则b+c的最大值为 - 3 2 -6=- 15 2 ． 故b+c的取值范围是（-∞，- 15 2 ]． 故答案为（-∞，- 15 2 ]．