Question

如图，平面直角坐标系中点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，m）（其中m＞0）．（1）如果S△AOB=4，求

如图，平面直角坐标系中点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，m）（其中m＞0）．（1）如果S△AOB=4，求m的值；（2）当m（m＞0）取不同的值时，点B在y轴的正半轴上运动，以B为直角顶点，分别以OB、AB为直角边分别在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连接EF交y轴于点P，问当B在y轴正半轴上运动时，BP的长是否发生改变？给出你的结论并证明．

Answer 1

（1）∵点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，m）（其中m＞0），
∴OA=4，OB=m，
∵S_△AOB=4，
∴

1

2

×4×m=4，
∴m=2；

（2）BP的长不发生改变，
证明：过E作EM⊥BF于M，如图，
∵△ABE和△OBF是等腰直角三角形，
∴OB=BF=m，AB=BE，∠FBO=∠ABE=90°，
∴∠EBF+∠ABO=180°，
∵∠EBF+∠EBM=180°，
∴∠EBM=∠ABO，
在△EMB和△AOB中

∠EBM＝∠ABO ∠EMB＝∠AOB＝90° BE＝AB

∴△EMB≌△AOB（AAS），
∴OA=EM=4，BM=OB=m=BF，
∵∠M=90°，∠PBF=90°，
∴BP∥EM，
∵BF=BM，
∴EP=FP，
∴BP=

1

2

EM=

1

2

×4=2，
即BP的长不发生改变，是2．