Question

已知函数f（x）=（ax+1）ex（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[-2，

已知函数f（x）=（ax+1）ex（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[-2，0]的最小值；（Ⅲ）设n∈N，a=0，F（x）=f（x）-x，求证：(n+1)(n+2)2＜en+1e?1．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-1时，f′（x）=（-1）e^x+（-x+1）e^x=-xe^x，
令f′（x）＞0，x＜0；令f′（x）＜0，x＞0，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，0），单调递减区间是（0，+∞）．
（Ⅱ）当a＞0时，f′（x）=e^x（ax+a+1），
令f′（x）＞0，x＞?

a+1

a

；令f′（x）＜0，x＜?

a+1

a

，
①当

a＞0 ? a+1 a ＞?2

时，即当a＞1时，
f（x）在(?2，?

a+1

a

)上是减函数，在(?

a+1

a

，0)上是增函数，
则函数f（x）在区间[-2，0]上的最小值为f(?

a+1

a

)=?ae

a+1

a

，
②当

a＞0 ? a+1 a ≤?2

时，即当0＜a≤1时，f（x）在[-2，0]上是增函数，
则函数f（x）在区间[-2，0]上的最小值为f（-2）=

1?2a

e2

，
综上所述：当a＞1时，f（x）在区间[-2，0]上的最小值为?ae

a+1

a

，
当0＜a≤1时，f（x）在区间[-2，0]上的最小值为

1?2a

e2

．
（Ⅲ）当a=0时，F（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴F（x）≥F（0）=1，∴e^x-x≥1，
令x=n，则e⁰-0=1，e¹-1≥1，e²-2≥1，…，eⁿ-n≥1，
以上各式叠加可得：（e⁰+e¹+e²+…+eⁿ）-（0+1+2+3+…n）≥n+1，
∴