如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6．现有两动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P
如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6．现有两动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P以每秒1个单位长的速度由点A向点D做匀速运动，点Q...
如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6．现有两动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P以每秒1个单位长的速度由点A向点D做匀速运动，点Q沿折线CB-BA向点A做匀速运动．（1）点P将要运行路径AD的长度为______；点Q将要运行的路径折线CB-BA的长度为______．（2）当点Q在BA边上运动时，若点Q的速度为每秒2个单位长，设运动时间为t秒．①求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并求自变量t的取范围；②求当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？（3）如图2，若点Q的速度为每秒a个单位长（a≤54），当t=4秒时：①此时点Q是在边CB上，还是在边BA上呢？②△APQ是等腰三角形，请求出a的值．
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（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OD=3，所以AD=5．
∴点Q将要运行的路径折线CB-BA的长度为10．
故答案为：5；10．
（2）①当点Q在BA上运动时，5≤2t＜10，即：
≤t＜5时，
如图1，过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，则QG∥BE．
由题意可得BE=
，AP=t，AQ=10-2t．
∴△AQG∽△ABE，
∴
＝
，
∴QG=
?
∴S=
AP?QG，
即S=-
t2+
t （
≤t＜5）．
②∵S=-
t2+
t．
?
＜0，
∴S有最大值．
S＝?
t2+
t＝?
(t?
)2+6
∴当t=
时，S的最大值为6．
（3）①∵a≤
，则4a≤5，
∴点Q在CB上，
如图2，作QM⊥AD于M，QM交AC于点F，
则QM为菱形的高．
由前面可知，QM=4.8
而当点P运行到点M时，QM最小，
如图3，
所以PQ≥QM，
∵t=4时，PA=4，∴QM＞PA．
∴PQ≥MQ＞PA，类似的AQ＞MQ＞PA，
∴QA=QP，△APQ是等腰三角形．
②∵QM⊥AP，
∴AM=
AP=2．由△AMF∽△AOD，
得，
＝
而AM=2，OD=3，OA=4，
∴FM=
，
∴QF=MQ-FM=
．
由△AMF∽△CQF，
＝
，而QF=
，FM=
∴AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OD=3，所以AD=5．
∴点Q将要运行的路径折线CB-BA的长度为10．
故答案为：5；10．
（2）①当点Q在BA上运动时，5≤2t＜10，即：
| 5 |
| 2 |
如图1，过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，则QG∥BE．
由题意可得BE=
| 24 |
| 5 |
∴△AQG∽△ABE，
∴
| QG |
| BE |
| QA |
| BA |
∴QG=
| 48 |
| 5 |
| 48t |
| 25 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
即S=-
| 24 |
| 25 |
| 24 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
②∵S=-
| 24 |
| 25 |
| 24 |
| 5 |
?
| 24 |
| 25 |
∴S有最大值．
S＝?
| 24 |
| 25 |
| 24 |
| 5 |
| 24 |
| 25 |
| 5 |
| 2 |
∴当t=
| 5 |
| 2 |
（3）①∵a≤
| 5 |
| 4 |
∴点Q在CB上，
如图2，作QM⊥AD于M，QM交AC于点F，
则QM为菱形的高．
由前面可知，QM=4.8
而当点P运行到点M时，QM最小，
如图3，
所以PQ≥QM，
∵t=4时，PA=4，∴QM＞PA．
∴PQ≥MQ＞PA，类似的AQ＞MQ＞PA，
∴QA=QP，△APQ是等腰三角形．
②∵QM⊥AP，
∴AM=
| 1 |
| 2 |
得，
| FM |
| OD |
| AM |
| OA |
∴FM=
| 3 |
| 2 |
∴QF=MQ-FM=
| 33 |
| 10 |
由△AMF∽△CQF，
| CQ |
| AM |
| QF |
| FM |
| 33 |
| 10 |
