Question

正三棱锥P-ABC侧棱长为3，侧棱与底面ABC所成的角为60°，则该正三棱锥外接球半径为______

正三棱锥P-ABC侧棱长为3，侧棱与底面ABC所成的角为60°，则该正三棱锥外接球半径为______．

Answer 1

过点P作PH⊥平面ABC于H，则
∵AH是PA在平面ABC内的射影
∴∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得∠PAH=60°，
∴Rt△PAH中，AH=PAcos60°=

3

2

，PH=PAsin60°=

3

2

设三棱锥外接球的球心为O，
∵PA=PB=PC，∴P在平面ABC内的射影H是△ABC的外心
由此可得，外接球心O必定在PH上，连接OA、OB、OC
∵△POA中，OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA=30°，可得PA=

3

OA=

3

，
∴三棱锥外接球的半径R=OA=1
故答案为：1．