Question

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，点D是劣弧BC的中点，AD与BC交于点E，延长BD与AC的延长线交于点F，连接CD

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，点D是劣弧BC的中点，AD与BC交于点E，延长BD与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点．（1）连接OG．判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若AE=6，求弦CD的长．

Answer 1

解：（1）猜想：OG⊥CD．
证明：如图，连接OC、OD．
∵OC=OD，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（3分）

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等）．
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴△ACE≌△BCF（ASA）∴AE=BF．（12分）

（3）∵∠ADB=90°，可知AD⊥BF，
∵

CD

=

BD

，
∴∠FAD=∠BAD，
∴∠F=∠FBA，
∴CD=BD=

1

2

BF=

1

2

×6=3．