Question

函数f（x）=2x和g（x）=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点 A（x1，y1），B（x2，y2），且x

函数f（x）=2x和g（x）=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点 A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．（I）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？（II）证明：x1∈[1，2]，且x2∈[9，10]；（III）结合函数图象的示意图，判断f（6），g（6），f（2011），g（2011）的大小，并按从小到大的顺序排列．

Answer 1

解答：解：（I）C₁对应的函数为g（x）=x³，C₂对应的函数为f（x）．
（II）证明：
令φ（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，则x₁，x₂为函数φ（x）的零点，
由于φ（1）=1＞0，φ（2）=-4＜0，φ（9）=2⁹-9³＜0，φ（10）=2¹⁰-10³＞0，
所以方程φ（x）=f（x）-g（x）的两个零点x₁∈（1，2），x₂∈（9，10）
∴x₁∈[1，2]，x₂∈[9，10]
（III）从图象上可以看出，当x₁＜x＜x₂时，f（x）＜g（x），
∴f（6）＜g（6）．（9分）
当x＞x₂时，f（x）＞g（x），
∴g（2011）＜f（2011），（11分）
∵g（6）＜g（2011），
∴f（6）＜g（6）＜g（2011）＜f（2011）．（12分）