Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（Ⅰ）求抛物

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为?12，求证：直线AB过x轴上一定点．

Answer 1

（Ⅰ）解：因为抛物线y²=2px的焦点坐标为（1，0），所以

p

2

＝1，p＝2．
得到抛物线方程为y²=4x．----------------------------------（4分）
（Ⅱ）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A(

t2

4

，t)，B(

t2

4

，?t)
因为直线OA，OB的斜率之积为?

1

2

，所以

t

t2 4

?t

t2 4

＝?

1

2

，化简得t²=32．
所以（8，t），B（8，-t），此时直线AB的方程为x=8．----------------（7分）
②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b，A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）
联立方程

y2＝4x y＝kx+b

，化简得ky²-4y+4b=0．------------------（9分）
根据韦达定理得到yAyB＝

4b

k

，
因为直线OA，OB的斜率之积为?

1

2

，所以得到

yA

xA

yB

xB

＝?

1

2

，即x_Ax_B+2y_Ay_B=0．--------------------（11分）
得到

yA2

4

yB2

4

+2yAyB＝0，
化简得到y_Ay_B=0（舍）或y_Ay_B=-32．--------------------（12分）
又因为