Question

设f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）=f（1）=0．f（x）在[0，1]上的最小值是-1，试证至少存在一点ξ∈

设f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）=f（1）=0．f（x）在[0，1]上的最小值是-1，试证至少存在一点ξ∈（0，1），使f″（ξ）≥8．

Answer 1

解答：证明：设f（x）在点x₀处取得极小值，即f（x₀）=-1，则f′（x₀）=0
由题意，f（x）在[0，x₀]和[x₀，1]都满足拉格朗日中值定理的条件
∴分别至少存在点ξ₁∈（0，x₀）和ξ₂∈（x₀，1），使得

f(x0)?f(0)

x0

＝f′(ξ1)，

f(1)?f(x0)

1?x0

＝f′(ξ2)
而f（0）=f（1）=0
∴f′(ξ1)＝?

1

x0

，f′(ξ2)＝

1

1?x0

又由f（x）在[0，1]上二阶可导
∴f′（x）在[ξ₁，ξ₂]上也满足拉格朗日中值定理
即至少存在点ξ∈（ξ₁，ξ₂）?（0，1），使得

f′(ξ2)?f′(ξ1)

ξ2?ξ1

＝f″(ξ)
∴f″(ξ)＝

1

x0(1?x0)

?

1

ξ2?ξ1

而x0(1?x0)＝?(x0?

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

ξ₂-ξ₁≤

1

2

∴f″（ξ）≥4?2=8
得证

Answer 2

引用敢爱不敢言62的回答：
解答：证明：设f（x）在点x0处取得极小值，即f（x0）=-1，则f′（x0）=0由题意，f（x）在[0，x0]和[x0，1]都满足拉格朗日中值定理的条件∴分别至少存在点ξ1∈（0，x0）和ξ2∈（x0，1），使得f(x0)?f(0)x0＝f′(ξ1)，f(1)?f(x0)1?x0＝f′(ξ2)而f（0）=f（1）=0∴f′(ξ1)＝?1x0，f′(ξ2)＝11?x0又由f（x）在[0，1]上二阶可导∴f′（x）在[ξ1，ξ2]上也满足拉格朗日中值定理即至少存在点ξ∈（ξ1，ξ2）?（0，1），使得f′(ξ2)?f′(ξ1)ξ2?ξ1＝f″(ξ)∴f″(ξ)＝1x0(1?x0)?1ξ2?ξ1而x0(1?x0)＝?(x0?12)2+14≤14ξ2-ξ1≤12∴f″（ξ）≥4?2=8得证

为什么ξ2-ξ1＜1/2