Question

数列{a n }满足 a 1 = 1 2 ， a n+1 = 1 2- a n (n∈ N * ) ．（1）

数列{a n }满足 a 1 = 1 2 ， a n+1 = 1 2- a n (n∈ N * ) ．（1）证明：数列 { 1 a n -1 } 是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式．并证明数列{a n }是单调递增数列．

Answer 1

（1）∵ 1 a n+1 -1 - 1 a n -1 = 1 1 2- a n -1 - 1 a n -1 = 2- a n -1+ a n - 1 a n -1 = - a n +1 a n -1 =-1 ， 而 1 a 1 -1 =-2 ， ∴数列 { 1 a n -1 } 是首项为-2，公差为-1的等差数列． （2）由（1）得 1 a n -1 =-n-1 ， ∴ a n = n n+1 ． ∵ a n+1 - a n = n+1 n+2 - n n+1 = ( n 2 +2n+1)-( n 2 +2n) (n+2)(n+1) = 1 (n+2)(n+1) ＞0 ， ∴a n+1 ＞a n ， ∴数列{a n }是单调递增数列．