Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F。（1）求证：BD=BF；（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积。

Answer 1

证明：（1）连接OE， ∵AC切⊙O于E， ∴OE⊥AC， 又∠ACB=90° 即BC⊥AC， ∴OE∥BC， ∴∠OED=∠F， 又OD=OE， ∴∠ODE=∠OED， ∴∠ODE=∠F， ∴BD=BF； （2）设⊙O半径为r，由OE∥BC得△AOE∽△ABC， ∴ ， 即 ， ∴r 2 -r-12=0， 解之得r 1 =4，r 2 =-3（舍）， ∴S ⊙O =πr 2 =16π。