Question

已知函数f（x）=12mx2-2x+1+ln（x+1）（m≥1）．（Ⅰ）求曲线C：y=f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（

已知函数f（x）=12mx2-2x+1+ln（x+1）（m≥1）．（Ⅰ）求曲线C：y=f（x）在点P（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数f（x）存在单调递减区间[a，b]，并求出单调递减区间的长度t=b-a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵点P在函数y=f（x）上，由f（x）=

1

2

mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；
得：f′（x）=mx-2+

1

x+1

（m≥1）；
∴y′|_x=0=-1 故切线方程为：y=-x+1；
（Ⅱ）由f（x）=

1

2

mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；
f（x）=得：f′（x）=mx-2+

1

x+1

=

mx2+(m?2)x?1

x+1

，
令h（x）=mx²+（m-2）x-1，
∵△=m²+4＞0，h（-1）=m+2-m-1=1＞0，
∴h（x）=0在（-1，+∞）上一定存在两个不同的实数根，
∴函数f（x）在（-1，+∞）上必有两个不等实数根a，b，
即h（x）=mx²+（m-2）x-1＜0的解集为（a，b），
由根与系数的关系知：a+b=

2?m

m

，ab=-

1

m

，
∴t=b-a=

(b?a)2

=

(b+a)2?4ab

=

1+ 4 m2

，
由m≥1可得：b-a∈（1，

5

]，
∴函数g（x）存在单凋减区间[a，b]，函数y=f（x）的递减区间长度t的取值范围是（1，

5

]．