Question

选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f

选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=|2x+1|-|x-3|=

-x-4，x＜- 1 2 3x-2，- 1 2 ≤x≤3 x+4，x＞3

，
∵f（x）＞0，
∴①当x＜-

1

2

时，-x-4＞0，
∴x＜-4；
②当-

1

2

≤x≤3时，3x-2＞0，
∴

2

3

＜x≤3；
③当x＞3时，x+4＞0，
∴x＞3．
综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（-∞，-4）∪（

2

3

，+∞）…（5分）
（2）由（1）知，f（x）=

-x-4，x＜- 1 2 3x-2，- 1 2 ≤x≤3 x+4，x＞3

，
∴当x≤-

1

2

时，-x-4≥-

7

2

；
当-

1

2

＜x＜3时，-

7

2

＜3x-2＜7；
当x≥3时，x+4≥7，
综上所述，f（x）≥-

7

2

．
∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，
∴a＜f（x）-3恒成立，
令g（x）=f（x）-3，则g（x）≥-

13

2

．
∴g（x）_min=-

13

2

．
∴a＜g（x）_min=-

13

2

…10 分